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    求证:任何一个实系数一元三次方程a0x3+a1x2+a2x+a3=0(a0,a1,a2,a3∈R,a0≠0)至少有一个实数根.

    证明略


    解析:

    设f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,函数f(x)在(－∞,+∞)连续，

    且x→+∞时，f(x)→+∞;x→－∞时，f(x)→－∞,

    所以必存在a∈(－∞,+∞),b∈(－∞,+∞),使f(a)·f(b)＜0,

    所以f(x)的图像至少在(a,b)上穿过x轴一次，即f(x)=0至少有一实根.

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