Question

方程x⁵+x-3=0有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？如果方程有解，请求出它的近似解（精确到0.1）．

Answer 1

解：考查函数f（x）=x⁵+x-3，
∵f（1）=-1＜0，f（2）=31＞0，
∴函数f（x）=x⁵+x-3在区间（1，2）有一个零点x₀．
∵函数f（x）=x⁵+x-3在（-∞，+∞）上是增函数，
∴方程x⁵+x-3=0在区间（1，2）内有唯一的实数解．
取区间（1，2）的 中点x₁=1.5，用计算器算得f（1.5）≈6.09＞0，∴x₀∈（1，1.5）．
同理，可得x₀∈（1，1.25），x₀∈（1.125，1.25），x₀∈（1.125，1.1875），x₀∈（1.125，1.156 25），x₀∈（1.125，1.1406 25）．
由于|1.1406 25-1.125|＜0.1，此时区间（1.125，1.1406 25）的两个端点精确到0.1的近似值都是1.1．
分析：先证明方程x⁵+x-3=0在区间（1，2）内有唯一一个实数解，可先函数f（x）=x⁵+x-3在（1，2）内为单调函数，再结合根的存在性定理即可．求解可用二分法．
点评：本题考查根的存在性定理、用二分法求根，考查计算能力．