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    已知函数的极大值为正数，极小值为负数，则的取值范围是             ．

     

    【答案】

    【解析】略

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且f'（x）=0的两根为±1．若f（x）的极大值与极小值之和为0，f（-2）=2．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）若函数在开区间（m-9，9-m）上存在最大值与最小值，求实数m的取值范围．
    （3）设函数f（x）=x•g（x），正实数a，b，c满足ag（b）=bg（c）=cg（a）＞0，证明：a=b=c．

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    科目：高中数学 来源：2012年江苏省南通市教研室高考数学全真模拟试卷（一）（解析版） 题型：解答题

    已知函数f（x）的导函数f'（x）是二次函数，且f'（x）=0的两根为±1．若f（x）的极大值与极小值之和为0，f（-2）=2．
    （1）求函数f（x）的解析式；
    （2）若函数在开区间（m-9，9-m）上存在最大值与最小值，求实数m的取值范围．
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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年山东省菏泽市高三5月高考冲刺题理科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.

    （Ⅰ）求实数的值； 

    （Ⅱ）求在区间上的最大值；

    （Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？说明理由.

    【解析】第一问当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    第二问当时，，令得，结合导数和函数之间的关系得到单调性的判定，得到极值和最值

    第三问假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    （Ⅰ）当时，，则。

    依题意得：，即    解得

    （Ⅱ）由（Ⅰ）知，

    ①当时，，令得

    当变化时，的变化情况如下表：

    0

    —

    0

    +

    0

    —

    单调递减

    极小值

    单调递增

    极大值

    单调递减

    又，，。∴在上的最大值为2.

    ②当时, .当时, ,最大值为0；

    当时, 在上单调递增。∴在最大值为。

    综上，当时，即时，在区间上的最大值为2；

    当时，即时，在区间上的最大值为。

    （Ⅲ）假设曲线上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在轴两侧。

    不妨设，则，显然

    ∵是以O为直角顶点的直角三角形，∴

    即    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；

    若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.

    若，则代入（*）式得：

    即，而此方程无解，因此。此时，

    代入（*）式得：    即   （**）

    令 ，则

    ∴在上单调递增，  ∵     ∴,∴的取值范围是。

    ∴对于，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。

    因此，对任意给定的正实数，曲线上存在两点P、Q，使得是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上

     

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    科目：高中数学 来源：2013届山西省晋商四校高二下学期文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    已知，函数

    （1）当时，求函数在点(1，)的切线方程；

    (2)求函数在[－1，1]的极值；

    (3)若在上至少存在一个实数x0，使>g(xo)成立，求正实数的取值范围。

    【解析】本试题中导数在研究函数中的运用。（1）中，那么当时，  又    所以函数在点(1，)的切线方程为；（2）中令   有 

    对a分类讨论，和得到极值。（3）中，设，，依题意，只需那么可以解得。

    解：（Ⅰ）∵  ∴

    ∴  当时，  又    

    ∴  函数在点(1，)的切线方程为 --------4分

    （Ⅱ）令   有 

    ①         当即时

    （－1，0）

    0

    （0，）

    （，1）

    +

    0

    －

    0

    +

    极大值

    极小值

    故的极大值是，极小值是

    ②         当即时，在（－1,0）上递增，在（0,1）上递减，则的极大值为，无极小值。 

    综上所述   时，极大值为，无极小值

    时  极大值是，极小值是        ----------8分

    （Ⅲ）设，

    对求导，得

    ∵，    

    ∴ 在区间上为增函数，则

    依题意，只需，即 

    解得  或（舍去）

    则正实数的取值范围是（，）

     

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    科目：高中数学 来源：2009-2010学年度新课标高二上学期数学单元测试4 题型：解答题

     
     
        （理）如图，在正三棱柱（底面为正三角形，侧棱与底面垂直）ABC—A1B1C1中，M、N

    分别为A1B1、BC的中点.

       （I）试求的值，使；

       （II）设AC1的中点为P，在（I）的条件下，求证：NP⊥平面AC1M.

     

     

     

    （文）已知函数的极大值

    为7；当x=3时，f（x）有极小值.

    （I）求函数f（x）的解析式；

    （II）求函数f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程.

     

     

     

     

     

     

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