设 $数学公式$ ， $数学公式$ ， $数学公式$ 是任意的三个非零平面向量，且他们相互不共线，给出下列命题
①（ $数学公式$ • $数学公式$ ） $数学公式$ =（ $数学公式$ • $数学公式$ ） $数学公式$ ；
②| $数学公式$ |-| $数学公式$ |＜| $数学公式$ - $数学公式$ |；
③（3 $数学公式$ +2 $数学公式$ ）•（3 $数学公式$ -2 $数学公式$ ）=9 $数学公式$ -4 $数学公式$ ；
④（ $数学公式$ • $数学公式$ ） $数学公式$ -（ $数学公式$ • $数学公式$ ） $数学公式$ 不与 $数学公式$ 垂直．
其中正确的有

A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
②④

B
分析：①因为（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 是表示与向量 $\text{[math]}$ 共线的向量，而（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 是表示与向量 $\text{[math]}$ 共线的向量．
②根据三角形的性质：任意两边之差小于第三边可得| $\text{[math]}$ |-| $\text{[math]}$ |＜| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |．
③向量的运算满足平方差公式．
④因为[（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ]• $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，所以（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直．
解答：①因为（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 是表示与向量 $\text{[math]}$ 共线的向量，而（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 是表示与向量 $\text{[math]}$ 共线的向量，所以①错误．
②因为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是任意两个都不共线的向量，所以根据三角形的性质：任意两边之差小于第三边可得| $\text{[math]}$ |-| $\text{[math]}$ |＜| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |正确，所以②正确．
③根据向量的运算性质可得：向量的运算满足平方差公式，即（3 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）•（3 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ）=9 $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ 正确，所以③正确．
④因为[（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ]• $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，所以（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，所以④错误．
故选②③．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握平面向量数量积的定义与运算满足的运算律，以及熟练掌握利用向量的数量积判断平面向量的垂直共线，此题属于基础题．

练习册系列答案

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