Question

已知：中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是（0，-

5

），离心率为

3

2

（1）求：椭圆方程；（2）若直线y=

1

2

x+m与椭圆相交于A、B两点，椭圆的左右焦点分别是F₁和F₂，求：以F₁F₂和AB为对角线的四边形F₁AF₂B面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由椭圆的一个顶点可求b，由离心率为e=

c

a

=

3

2

可得a，c的关系，结合a²=b²+c²，可求a，b，c进而可求椭圆的方程
（2）由（1）可得椭圆方程

x2

20

+

y2

5

=1，联立方程

y= 1 2 x+m x2 20 + y2 5 =1

整理可得，2y²-2my+m²-5=0，由直线与椭圆相交于A、B两点，可得△=4m²-8（m²-5）＞0，及y1+y2=m，y1y2=

m2-5

2

，而以F₁F₂和AB为对角线的四边形F₁AF₂B面积S=

1

2

|F1F2||y1-y2|可求

解答：解：（1）设中心在原点，长轴在x轴上的椭圆方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵椭圆的一个顶点是(0，-

5

)∴b=

5

∵离心率为e=

c

a

=

3

2

c=

3

2

a
∵a²=b²+c²，∴a²=20，b²=5
∴椭圆方程：

x2

20

+

y2

5

=1
（2）椭圆方程：

x2

20

+

y2

5

=1
∴左右焦点为F1(-

15

，0)，F2(

15

，0)，F1F2=2

15

联立方程

y= 1 2 x+m x2 20 + y2 5 =1

整理可得，2y²-2my+m²-5=0
∵直线与椭圆相交于A、B两点，∴△=4m²-8（m²-5）＞0，即：-

10

＜m＜

10

，且y1+y2=m，y1y2=

m2-5

2

由题知：以F₁F₂和AB为对角线的四边形F₁AF₂B面积S=

1

2

|F1F2||y1-y2|=2

15

(y1+y2)2-4y1y2

×

1

2

=

15

10-m2

≤5

6

点评：本题主要考查了由椭圆的性质求解椭圆方程，直线与椭圆的位置关系的应用，体现了方程的思想的应用，要注意弦长公式||y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

的应用．