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已知数列的前项和满足.

(1)写出数列的前三项

(2)求数列的通项公式;

(3)证明:对任意的整数,有.

 

【答案】

(1) 由

(2)

(3)见解析.

【解析】.

(1)因为数列的前项和满足,那么对于n令值,边可以写出数列的前三项

(2)根据前几项归纳猜想数列的通项公式;再用数学归纳法加以证明。或者里利用迭代思想,得到通项公式。

(3)利用放缩法得到求和,并证明不等式。

(1)为了计算前三项的值,只要在递推式中,对取特殊值,就可以消除解题目标与题设条件之间的差异.

 由

(2)为了求出通项公式,应先消除条件式中的.事实上

时,有

 

即有 

从而 

   

  …… 

接下来,逐步迭代就有

        

经验证a1也满足上式,故知

其实,将关系式和课本习题作联系,容易想到:这种差异的消除,只要对的两边同除以,便得

         

就有

于是        

这说明数列是等比数列,公比 首项,从而,得

     

即    

   故有

(3)由通项公式得

且n为奇数时, 

                                

为偶数时,

为奇数时,为偶数,可以转化为上面的情景

故任意整数m>4,有

 

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