Question

6．已知抛物线x²=2y，过动点P作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，且k_PAk_PB=-2．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）试问直线AB是否恒过定点？若恒过定点，请求出定点坐标；若不恒过定点，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直线PA：y-y₀=k_PA（x-x₀），代入抛物线方程，得出$△=0⇒k_{PA}^2-2{x_0}{k_{PA}}+2{y_0}=0$，同理，有$k_{PB}^2-2{x_0}{k_{PB}}+2{y_0}=0$，k_PA，k_PB分别为方程：k²-2x₀k+2y₀=0的两个不同的实数根，利用韦达定理求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）求出直线AB的方程，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）设P（x₀，y₀），则直线PA：y-y₀=k_PA（x-x₀），代入抛物线方程：x²-2k_PAx-2y₀+2k_PAx₀=0，
因为直线与抛物线相切，所以$△=0⇒k_{PA}^2-2{x_0}{k_{PA}}+2{y_0}=0$，…（2分）
同理，有$k_{PB}^2-2{x_0}{k_{PB}}+2{y_0}=0$，…（3分）
所以k_PA，k_PB分别为方程：k²-2x₀k+2y₀=0的两个不同的实数根，…（5分）
k_PAk_PB=-2=2y₀，所以y₀=-1，所以点P的轨迹方程为y=-1．…（6分）
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$y=\frac{1}{2}{x^2}$，y'=x，所以抛物线在A，B点的切线方程分别为x₁x-y-y₁=0，x₂x-y-y₂=0，…（8分）
又都过点P（x₀，-1），所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}{x_0}-{y_1}+1=0\\{x_2}{x_0}-{y_2}+1=0\end{array}\right.$…（9分）
所以直线AB的方程为xx₀-y+1=0，…（11分）
所以直线AB恒过定点（0，1）．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线方程的综合应用，函数的导数以及切线方程的应用，难度比较大的压轴题目．