Question

如图，AC₁是正方体的一条对角线，点P、Q分别为其所在棱的中点，则异面直线PQ与AC₁所成的角为________．

Answer 1

分析：取AB₁的中点R，连接PR，QR，BD，AB，AD，在正方体中，根据线面垂直的判定定理可得线面垂直：AC₁⊥平面ABD，再根据面面平行的判定定理可得面面平行．结合线面垂直的判定定理得出AC₁⊥平面PQR，最后利用线面垂直的性质定理得出PQ⊥AC₁．从而异面直线PQ与AC₁所成的角直角．
解答：解：取AB₁的中点R，连接PR，QR，BD，AB，AD，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，BD⊥CC₁，
∴BD⊥平面AC₁
从而得到BD⊥AC₁，
同理得AB⊥AC₁，
∴AC₁⊥平面ABD，
因为P，Q，R分别是棱BB₁，AD₁，AB₁的中点，
所以PR∥AB，
所以QR∥B₁D₁∥BD，
∴平面PQR∥平面ABD，
∴AC₁⊥平面PQR，
又因为PQ?平面PQR，
所以PQ⊥AC₁．
则异面直线PQ与AC₁所成的角为．
故答案为：．
点评：本题主要考查线面平行、线面垂直的判定定理，以及解决异面直线及其所成的角的问题．属于基础题．