Question

在海岸A处测得北偏东45°方向，距A为（

3

-1）km的B处有一鱼群，鱼群正以10km/h的速度才B处向北偏东30°方向游动，在A处北偏西75°方向，离A为2km的C处有一艘渔船获悉立即以10

3

km/h的速度追捕鱼群，问渔船沿什么方向行驶才能最快追上鱼群？并求出所需时间．

Answer 1

分析：由题意，△ABC中∠CAB=120°，由余弦定理算出BC的长度；△ABC中由正弦定理，求得sin∠ACB值．设渔船用t小时在D处追上鱼群，则CD=10

3

t且BD=10t．△ABC中求得∠CBD=120°，利用正弦定理在△BCD中求得sin∠BCD，从而可求得渔船行驶方向，最后在△BCD中得出BD=BC，由t=

1

10

BD即得最快追上鱼群的最短时间．

解答：解：在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，
由余弦定理，得BC²=AB²+AC²-2AB•ACcos∠CAB
=（

3

-1）²+2²-2×（

3

-1）×2×（-

1

2

）=6，
所以，BC=

6

．
在△ABC中，由正弦定理得

AB

sin∠ACB

=

BC

sin120°

，
所以，sin∠ACB=

AB•sin120°

BC

=

3 -1

2 2

=

6 - 2

4

．
结合∠ACB∈（0°，60°），得∠ACB=15°．
设渔船用t小时，在D处追上鱼群，如图，
则有CD=10

3

t，BD=10t，∠CBD=90°+30°=120°，
在△BCD中，由正弦定理得
sin∠BCD=

BD•sin∠CBD

CD

=

10t•sin120°

10 3 t

=

1

2

，可得∠BCD=30°，
又∵∠ACB=15°，∴180⁰-（∠BCD+∠ACB+75°）=180°-（30°+15°+75°）=60°，
即渔船沿北偏东60°方向能最快追上鱼群．?
在△BCD中，∴∠BCD=30°，∠CBD=90°+30°=120°，
∴∠CDB=30°，∴BD=BC=

6

，
则t=

1

10

BD=

6

10

，即渔船最快追上追上鱼群所需时间为

6

10

小时．
答：渔船沿北偏东60°方向行驶能最快追上鱼群，所需时间为

6

10

小时．

点评：本题给出实际应用问题，求渔船追上鱼群的最短时间．着重考查了余弦定理、正弦定理在解决实际问题中的应用，考查分析问题、解决问题的能力和运算能力，属于中档题．