Question

（本题13分）已知椭圆的方程是，点分别是椭圆的长轴的左、右端点，

左焦点坐标为，且过点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知是椭圆的右焦点，以为直径的圆记为圆,试问:过点能否引圆的切线，若能，求出这条切线与轴及圆的弦所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由。

 

Answer 1

【解析】（Ⅰ）因为椭圆的方程为，（）， ∴ ，

即椭圆的方程为，    ∵ 点在椭圆上， ∴ ，

解得 或（舍），  由此得，

所以，所求椭圆的标准方程为.   …… 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,又，则得

,

所以，即,  是，

 所以，以为直径的圆必过点，

因此，过 点能引出该圆的切线，

设切线为,交轴于点，

 又的中点为，则显然,

而 ,

所以的斜率为，

因此，过 点引圆的切线方程为：， 

 即

令，则，,又，

所以，

因此，所求的图形面积是 =

…… 13分