Question

已知=(22,0),O为坐标原点,点M满足|+|+|-|=6.

(1)求点M的轨迹C的方程;

(2)是否存在直线l过点P(0,2),与轨迹C交于A、B两点,且以AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：(1)设M(x,y),则=(x,y),

由题意,得|(x,y)+(2,0)|+|(x,y)-(2,0)|=6

∴|(x+2,y)|+|(x-2,y)|=6.

∴+=6.

化简得+y²=1(亦可据上式由定义得到此方程).

(2)当l斜率不存在时,显然不符合题意.

∴设l:y=kx+2,A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂).

(1+9k²)x²+36kx+27=0x₁+x₂=-,x₁x₂=.

∵以AB为直径的圆过原点,

∴⊥.

∴x₁x₂+y₁y₂=0.

∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+(kx₁+2)·(kx₂+2)=(k²+1)x₁x₂+2k(x₁+x₂)+4=-+4

=+4=0.

∴k=±,

∴l:y=±x+2.