Question

（理）2011年3月11日，日本地震引起了核泄漏，现有A组、B组两组反应堆，据有关技术部门分析，A组中的两个反应堆爆炸的概率都是，B组中两个反应堆爆炸的概率都是，假设这四个反应堆是否爆炸互不影响．
（1）求A组、B组中各一个反应堆爆炸的概率．
（2）求A、B两组反应堆爆炸的个数 ξ 的分布列与期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A_k表示A组中k个反应堆爆炸，则k=0，1，2；B_i表示B组中i个反应堆爆炸，则i=0，1，2．由题意知P（A_k）=，P（B_i）=，由此能求出A组、B组中各有一个反应堆爆炸的概率．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，分别求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和Eξ．
解答：解：（1）设A_k表示A组中k个反应堆爆炸，则k=0，1，2；
B_i表示B组中i个反应堆爆炸，则i=0，1，2．
由题意知P（A_k）=，P（B_i）=，
∴P（A）==，
P（A₁）==，
P（A₂）==．
P（B）==，
P（B₁）==，
P（B₂）==．
A组、B组中各有一个反应堆爆炸的概率为：
P（A₁•B₁）=P（A₁）•P（B₁）==．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，
则P（ξ=0）=P（A•B）==，
P（ξ=1）=P（A•B₁）+P（A₁•B）==，
P（ξ=2）=P（A•B₂）+P（A₁•B₁）+P（A₂•B）
=++=，
P（ξ=3）=P（A₁•B₂）+P（A₂•B₁）=+=，
P（ξ=4）=P（A₂•B₂）==．
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P

∴Eξ=0×+1×+2×+3×+4×=．
点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题，在历年高考中都是必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意排列组合和概率知识的灵活运用．