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三棱锥P-ABC的高|PO|=,底面边长分别为3,4,5,Q点在底边上,且斜高PQ的数值为3,这样的Q点最多有( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
【答案】分析:先证明底面三角形为直角三角形,且内切圆半径为1,再证明点P与三个切点的连线即为侧面斜高,由已知数据计算三个斜高均为3,即符合条件的点Q恰为这三个切点
解答:解:如图∵|AC|=3,|BC|=4,|AB|=5
∴△ACB为直角三角形,∠ACB=90°
设此三角形的内切圆半径为r,
则由△ACB的面积等于△OAB,△OAC,△OBC的面积之和得

∴r=1
设切点为D、E、F
则由三垂线定理知:PD、PE、PF分别为三棱锥三个侧面的斜高
∵在直角三角形POD中,|PO|=,|OD|=1
∴|PD|==3
同理|PE|=3,|PF|=3
∴Q点在底边上,且斜高PQ的数值为3,这样的Q点最多有3个,分别位于D、E、F的位置
故选B
点评:本题考查了三棱锥的结构特征,直角三角形的特殊性质,椎体的高与斜高的关系和计算方法,将空间问题转化为平面问题的思想方法
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5
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