Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，BB₁⊥底面ABC，D为棱AC的中点，E为棱A₁C₁的中点，且AB=BC=BB₁=1．
（1）求证：CE∥平面BA₁D．
（2）求二面角A₁-BD-C的余弦值．
（3）棱CC₁上是否存在一点P，使PD⊥平面A₁BD，若存在，试确定P点位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：方法一：（几何法）（1）由已知中E、D分别是A₁C₁和AC的中点，根据三角形中位线定理可得A₁E∥CD且A₁E=CD，进而由平行四边形的性质得到CE∥A₁D，再由线面平行的判定定理可得CE∥平面BA₁D．
（2）由BB₁⊥底面ABC，结合直三棱柱的几何特征得AA₁⊥BD，由已知中AB=BC=1且D为AC的中点，由等腰三角形三线合一，得到BD⊥AC，则BD⊥平面A₁ACC₁，进而可得∠A₁DA为所求二面角A₁-BD-C的平面角的补角，解Rt△A₁AD，求出∠A₁DA的余弦，进而即可得到二面角A₁-BD-C的余弦值．
（3）取P为CC₁中点，由（2）中结论，我们易证得PD⊥A₁D，BD⊥PD，再由线面垂直的判定定理即可得到答案．
方法二：（向量法）（1）以B为坐标原点，射线BC为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系B-xyz，分别求出CE的方向向量和平面BA₁D的法向量，再由它们的数量积为0，两向量垂直，得到CE∥平面BA₁D．
（2）求出平面BCD的一个法向量，结合（1）中平面BA₁D的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角A₁-BD-C的余弦值，但要注意二面角是一个钝二面角．
（3）设P（1，0，z），则PD的方向向量为平面A₁BD的法向量，由此构造关于z的方程组，解方程求出z的值，即可确定P点的位置．

解答：解：方法一：（几何法）
证明：（1）因为E、D分别是A₁C₁和AC的中点，则A₁E∥CD且A₁E=CD，
则CE∥A₁D…．（2分），而CE?平面BA₁D，A₁D?平面BA₁D，则CE∥平面BA₁D…（4分）
解：（2）因为B₁B⊥平面ABC，故A₁A⊥平面ABC，所以AA₁⊥BD
又AB=BC=1且D为AC的中点，故BD⊥AC，
而AA₁∩AC=A，BD⊥平面A₁ACC₁
所以A₁D⊥BD，AD⊥BD
故∠A₁DA为所求二面角A₁-BD-C的平面角的补角．…（6分）
在Rt△A₁AD中，A1D=

12+( 2 2 )2

=

6

2

所以cos∠A1DA=

AD

A1D

=

3

3

故所求二面角的余弦值为cos(π-∠A1DA)=-

3

3

…（8分）
（3）P为CC₁中点时，即PC=

1

2

，PD⊥平面A₁BD．
因为tan∠A1DA=

AA1

AD

=

1

2 2

=

2

，所以tan∠A1DA•tan∠PDC=

2

•

1 2

2 2

=1
即∠A₁DA+∠PDC=90°，即∠A₁DP=90°，即PD⊥A₁D…（10分）
由（2）知，BD⊥平面A₁ACC₁，PD?平面A₁ACC₁
所以BD⊥PD，又BD∩A₁D=D．
所以PD⊥平面A₁BD．…（12分）
方法二：（向量法）
证明：（1）以B为坐标原点，射线BC为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系B-xyz
则A（0，1，0），C（1，0，0），D(

1

2

，

1

2

，0)，B₁（0，0，1），A₁（0，1，1），C₁（1，0，1），E(

1

2

，

1

2

，1)
设平面A₁BD的一个法向量n₁=（x，y，z）
又

BA1

=(0，1，1)

BD

=(

1

2

，

1

2

，0)

n1• BA1 =0 n11• BD =0

令x=1可得n₁n₁=（1，-1，1）…（2分）

CE

=(-

1

2

，

1

2

，1)，n1•

CE

=0
又因为CE?平面A₁BD，故CE∥平面BA₁D．     …（4分）
解：（2）又平面BDC的一个法向量为n₂=（0，0，1），平面A₁BD的一个法向量n₁=（1，-1，1）…（6分）
设二面角A₁-BD-C的大小为θ，可知θ为钝角，
故cosθ=-

|n1n1•n2|

|n1n1||n2n2|

=-

3

3

…（8分）
（3）设P（1，0，z）则

DP

=(

1

2

，-

1

2

，z)…（9分）
要使PD⊥平面A₁BD，则需

DP • BD =0 DP • BA1 =0

…（10分）
可得z=

1

2

，故P(1，0，

1

2

)
即当P是C₁C的中点时，
所以PD⊥平面A₁BD．…（12分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，其中几何法的解答要点是熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定、性质，建立良好的空间想像能力，而向量法的关键是建立空间坐标系，求出对应直线的方向向量和平面的法向量，将空间直线与平面的平行、垂直、夹角问题，转化为向量的平行、垂直、夹角问题．