Question

【题目】在三棱锥D-ABC中，，且，，M，N分别是棱BC，CD的中点，下面结论正确的是（ ）

A.B.平面ABD

C.三棱锥A-CMN的体积的最大值为D.AD与BC一定不垂直

Answer 1

【答案】ABD

【解析】

根据题意画出三棱锥D-ABC，取中点，连接：对于A，根据等腰三角形性质及线面垂直判定定理可证明平面，从而即可判断A；对于B，由中位线定理及线面平行判定定理即可证明；对于C，当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，由线段关系及三棱锥体积公式即可求解；对于D，假设，通过线面垂直判定定理可得矛盾，从而说明假设不成立，即可说明原命题成立即可.

根据题意，画出三棱锥D-ABC如下图所示，取中点，连接：

对于A，因为，且，，

所以为等腰直角三角形，

则且，

则平面，

所以，即A正确；

对于B，因为M，N分别是棱BC，CD的中点，

由中位线定理可得，而平面，平面，

所以平面，即B正确；

对于C，当平面平面时，三棱锥A-CMN的体积最大，

则最大值为，即C错误；

对于D，假设，由,且,

所以平面，则，

又因为，且，

所以平面，由平面，则，

由题意可知，因而不能成立，因而假设错误，所以D正确；

综上可知，正确的为ABD，

故选：ABD.