Question

已知向量，，ω＞0且，函数f（x）图象上相邻两条对称轴之间的距离是2π．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）设函数g（x）=f（x+φ），φ∈（0，π），若g（x）为偶函数，求g（x）的最大值及相应的x值．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用向量共线条件，确定函数解析式，即可求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）先确定函数g（x）的解析式，即可求g（x）的最大值及相应的x值．
解答：解：（Ⅰ）∵∥，∴（2cosωx+2sinωx）cosωx-f（x）=0
得f（x）=（2cosωx+2sinωx）cosωx=2cos²ωx+2sinωxcosωx=1+cos2ωx+sin2ωx
=…（3分）
由题设可知，函数f（x）的周期T=4π，则…（4分）
则
由，解得，其中k∈Z
∴函数f（x）的单调减区间是（k∈Z）．…（7分）
（Ⅱ），
∵g（x）为偶函数，∴图象关于y轴为对称轴
将x=0代入，得，则有
又∵ϕ∈（0，π），∴…（9分）
则…（10分）
当，时，函数g（x）取得最大值
此时，其中k∈Z．…（12分）
点评：本题考查向量知识，考查函数解析式的确定，考查三角函数的性质，属于中档题．