Question

已知方程在x∈[0，nπ），（n∈N^*）内所有根的和记为a_n
（1）写出a_n的表达式：（不要求严格的证明）  
（2）求S_n=a₁+a₂+…+a_n；
（3）设b_n=（kn-5）π，若对任何n∈N^*都有a_n≥b_n，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）解方程得或（1分）
∴当n=1时，或，此时（2分）
当n=2时，，
∴（3分）
依此类推：
∴（5分）
（2）
==
（9分）
（3）由a_n≥b_n得
∴
∵n∈N^*∴（11分）
设
易证f（n）在上单调递减，在（）上单调递增．    （13分）
∵n∈N^*
∴n=2，f（n）_min=4
∴k≤4（15分）
分析：（1）通过方程的解，利用n=1，2，求出a₁，a₂，类比写出a_n的表达式．（不要求严格的证明）  
（2）利用拆项法直接通过公式法与等差数列求和，求S_n=a₁+a₂+…+a_n的值．
（3）设b_n=（kn-5）π，推出a_n≥b_n的表达式，利用分离变量，通过基本不等式判断函数的单调性，求出函数的最小值，即可求实数k的取值范围．
点评：本题考查数列通项公式的猜想，数列求和的基本方法，恒成立问题的应用，函数的单调性的应用，考查转化思想，分析问题解决问题的能力．