Question

已知3x+4y+4=0，求

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

的最小值．

Answer 1

分析：根据题意，把求

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

的最小值转化为求直线上的点P到点A（-3，5）与到点B（2，15）的距离的和的最小值，结合图形即可解答．

解答：解：设点P（x，y）是直线3x+4y+4=0的点，求

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

的最小值即
求点P到点A（-3，5）与到点B（2，15）的距离的和的最小值，
画出图形，如图所示；
求出点A关于直线3x+4y+4=0的对称点A₁，则|A₁B|就是|PA|+|PB|的最小值，
∴设A₁（a，b），则

3• a-3 2 +4• b+5 2 +4=0 b-5 a+3 •(- 3 4 )=-1

，
即 

3a+4b=-19 4a-3b=-27

；
解得

a=- 33 5 b= 1 5

，
∴A₁（-

33

5

，

1

5

）；
∴|A₁B|=

(2+ 33 5 )2+(15- 1 5 )2

=

293

，
∴

(x+3)2+(y-5)2

+

(x-2)2+(y-15)2

的最小值是

293

．

点评：本题考查了求函数最小值的问题，解题时应结合图形，利用几何方法求出最小值来，是计算量较大的题目．