Question

2．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-ax（a为常数）有两个极值点．
（1）求实数a的取值范围；
（2）设f（x）的两个极值点分别为x₁，x₂，若不等式$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$＜Ψ恒成立，求Ψ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）且f′（x）=0有两个不同的正根，即x²-ax+a=0两个不同的正根，即可求实数a的取值范围；
（2）利用韦达定理，可得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=lna-$\frac{1}{2}$a-1，构造函数，确定函数的单调性，求出其范围，即可求Ψ的最小值．

解答 解：（1）由题设知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-ax+a}{x}$且f′（x）=0有两个不同的正根，
即x²-ax+a=0两个不同的正根x₁，x₂，（x₁＜x₂）
则 $\left\{\begin{array}{l}{△{=a}^{2}-4a＞0}\\{a＞0}\end{array}\right.$，∴a＞4，
（0，x₁），f′（x）＞0，（x₁，x₂），f′（x）＜0，（x₂，+∞），f′（x）＞0，
∴x₁，x₂是f（x）的两个极值点，符合题意，
∴a＞4；
（2）f（x₁）+f（x₂）=alnx₁+$\frac{1}{2}$x₁²-ax₁+alnx₂+$\frac{1}{2}$x₂²-ax₂=a（lna-$\frac{1}{2}$a-1），
∴$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=lna-$\frac{1}{2}$a-1，
令y=lna-$\frac{1}{2}$a-1，则y′=$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$，
∵a＞4，
∴y′＜0，
∴y=lna-$\frac{1}{2}$a-1在（4，+∞）上单调递减，
∴y＜ln4-3，
∴Ψ的取值范围是[ln4-3，+∞）．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的极值，考查不等式恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．