Question

AB是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，M是AB的中点，O是椭圆的中心，求证：k_AB•k_OM为定值．

Answer 1

【答案】分析：设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂，的表达式，根据直线方程求得y₁+y₂的表达式，进而根据点M为AB的中点，表示出M的横坐标和纵坐标，求得直线OM的斜率，进而代入k_AB•k_OM中求得结果为定值，原式得证．
解答：证明：设直线为：y=kx+c
联立椭圆和直线消去y得
b²x²+a²（kx+c）²-a²b²=0，即 （b²+k²a²）x²+2a²kcx+a²（c²-b²）=0
所以：x₁+x₂=-
所以，M点的横坐标为：M_x=（x₁+x₂）=-
又：y₁=kx₁+c
y₂=kx₂+c
所以y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2c=
所以，点M的纵坐标M_y=（y₁+y₂）=
所以：Kom===-
所以：
k_AB•k_OM=k×=
点评：本题主要考查了椭圆的应用．涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便．