Question

如图，ABCD为矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P为AB的中点．
（1）求证：平面PCF⊥平面PDE；
（2）求四面体PCEF的体积．

Answer 1

证明：（1）因为ABCD为矩形，AB=2BC，P为AB的中点，
所以三角形PBC为等腰直角三角形，∠BPC=45°．
同理可证∠APD=45°．
所以∠DPC=90°，即PC⊥PD．
又DE⊥平面ABCD，PC在平面ABCD内，所以PC⊥DE．
因为DE∩PD=D，所以PC⊥PDE．
又因为PC在平面PCF内，所以平面PCF⊥平面PDE；
解：（2）因为CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，
所以DE∥CF．又DC⊥CF，
所以．
在平面ABCD内，过P作PQ⊥CD于Q，则
PQ∥BC，PQ=BC=2a．
因为BC⊥CD，BC⊥CF，
所以BC⊥平面CEF，即PQ⊥平面CEF，
亦即P到平面CEF的距离为PQ=2a
.．
（注：本题亦可利用求得）
分析：（1）证明平面PCF内的直线PC，垂直平面PDE内的两条相交直线DE，PD，就证明了平面PCF⊥平面PDE；
（2）说明P到平面PCEF的距离为PQ=2a，求出的面积，然后求四面体PCEF的体积．
点评：本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查逻辑思维能力，推理能力，转化思想，是中档题．