Question

13．设等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，各项均为正数的等比数列{b_n}的公比为q，已知a₁=3，b₁=1，且b₂+S₂=12，a₃=b₃．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将b₂+S₂=12、a₃=b₃用公差、公比表示出来，联立方程组计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），进而并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得：$\left\{\begin{array}{l}{q+3+3+d=12}\\{3+2d={q}^{2}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{d=3}\\{q=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=11}\\{q=-5}\end{array}\right.$（舍），
∴a_n=3+3（n-1）=3n，
b_n=1•3^n-1=3^n-1；
（Ⅱ）由（I）可知S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{3}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{2}{3}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2}{3}$（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2}{3}$•$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于中档题．