Question

1．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinAsinB+bcos²A=$\frac{4}{3}$a．
（1）求$\frac{b}{a}$；
（2）若c²=a²+$\frac{1}{4}$b²，求角C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，整理后利用同角三角函数间的基本关系化简，得到sinB=2sinA，
再利用正弦定理化简，即可得到所求式子的值；
（2）由余弦定理可求cosC的值，结合C的范围即可得解．

解答 解：（1）△ABC中，asinAsinB+bcos²A=$\frac{4}{3}$a，
由正弦定理化简得：sin²AsinB+sinBcos²A=$\frac{4}{3}$sinA，
即sinB（sin²A+cos²A）=$\frac{4}{3}$sinA，
∴sinB=$\frac{4}{3}$sinA，
再由正弦定理得：b=$\frac{4}{3}$a，
则$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$；
（2）由（1）可得b=$\frac{4}{3}$a，
c²=a²+$\frac{1}{4}$b²=a²+$\frac{1}{4}$×$\frac{16}{9}$a²=$\frac{13}{9}$a²，
由余弦定理可得：
cosC=$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}{-c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{a}^{2}+{\frac{16}{9}a}^{2}-{\frac{13}{9}a}^{2}}{2×a×\frac{4}{3}a}$=$\frac{1}{2}$，
由C为三角形内角，可得∠C=$\frac{π}{3}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键，是综合性题目．