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170、偶函数y=f(x)在区间[-1,0]上单调递增,且满足f(x+1)=-f(x-1),下列判断:①f(5)=0;②f(x)没有最小值;③f(x)的图象关于直线x=1对称;④f(x)在x=0处取得最大值.其中正确的判断序号是
①④
分析:首先根据f(x)在区间[-1,0]上单调递增且是偶函数,可判断f(x)在[0,1]上单调递减,根据f(x+1)=-f(x-1)可推出f(x+2)=-f(x)和(x+4)=f(x),进而可推断函数在[1,2]单调减,在[2,3]和[3,4]上单调增而且函数为以4为周期的函数.进而可画出函数的示意图,根据示意图判断①②③④的正误.
解答:解:f(x+1)=-f(x-1)
∴f(x+2)=f(x+1+1)=-f(x)
∴f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)
∴函数f(x)是以4为周期的函数.
∵函数f(x)为偶函数,
∴y=f(x)在区间[0,1]上单调递减,
又∵f(x+2)=-f(x)
函数f(x)在[1,2]上的图象与在[-1,1]上的图象关于点(1,0)对称,故③不正确.
故函数在[-1,1]上的示意图如下
∴当x=0时
f(0+1)=-f(0-1)=-f(1)
∴f(1)=0
∴f(5)=f(4+1)=f(1)=0
故①正确.
如示意图,f(2)为函数的最小值,f(0)=f(4)为函数最大值.故②不正确,④正确.
故答案为:①④
点评:本题主要考查函数单调性和奇偶性的综合应用.解此类题常可根据其奇偶性和对称性画出函数的示意图,根据示意图来解题,较为方便直观.
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