Question

2．某市在“两会”召开前，某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研，据测定，该处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源的距离成反比，比例常数为k（k＞0）．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a，b，它们连线上任意一点c处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．
（1）设A，C两处的距离为x，试将y表示为x的函数；
（2）若a=1时，y在x=6处取最小值，试求b的值．

Answer 1

分析 （1）求出点C受A、B污染源污染指数，即可得到点C处污染指数；
（2）求导函数，确定函数的单调性，从而可得函数的极值与最值，进而可得结论．

解答 解：（1）设点C受A污染源污染指数为$\frac{ka}{x}$，
点C受B污染源污染指数为$\frac{kb}{36-x}$，其中k为比例系数，且k＞0．…（2分）
从而点C处污染指数y=$\frac{ka}{x}$+$\frac{kb}{36-x}$（0＜x＜36）…（4分）
（2）因为a=1，所以y=$\frac{ka}{x}$+$\frac{kb}{36-x}$，…（5分）
∴y′=k[-$\frac{1}{{x}^{2}}$+$\frac{b}{（36-x）^{2}}$]，…（7分）
令y′=0，得x=$\frac{36}{1+\sqrt{b}}$，…（9分）
当x∈（0，$\frac{36}{1+\sqrt{b}}$）时，y′＜0，函数单调递减；当x∈（$\frac{36}{1+\sqrt{b}}$，+∞）时，y′＞0，函数单调递增．
∴当x=$\frac{36}{1+\sqrt{b}}$时，函数取得最小值…（11分）
又此时x=6，解得b=25，经验证符合题意．

点评 本题考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，考查函数的最值，属于中档题．