Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，（e是自然常数，e≈2.718），若函数F（x）=f[f（x）]+b有且仅有1个零点，则实数b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-e）
• B． （-e，-1）
• C． （1，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 先判断f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（x）∈[1，+∞），在（-∞，0）上是减函数，且f（x）∈（0，+∞）；从而由零点与根的关系，化为方程的解，从而分类讨论解得．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{x}，x≥0}\\{-2x，x＜0}\end{array}\right.$，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，且f（x）∈[1，+∞），
f（x）在（-∞，0）上是减函数，且f（x）∈（0，+∞）；
令F（x）=f[f（x）]+b=0得，
f[f（x）]=-b，
①当0＜-b＜1，即-1＜b＜0时，
-2f（x）=-b，故f（x）=$\frac{b}{2}$（无解）；
②当-b≥1，即b≤-1时，
e^f（x）=-b，或-2f（x）=-b，
故f（x）=ln（-b）或f（x）=$\frac{b}{2}$（无解）；
故e^x=ln（-b）或-2x=ln（-b），
①当ln（-b）≥1，即b≤-e时，e^x=ln（-b）有解，
当ln（-b）＜1，即-e＜b＜-1时，e^x=ln（-b）无解；
②ln（-b）＞0，即b＜-1时，-2x=ln（-b）有解；
结合①②可知，
当-e＜b＜-1时，函数F（x）=f[f（x）]+b有且仅有1个零点，
故选：B．

点评 本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用及分类讨论的思想应用．