Question

已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求PC与平面ABCD所成的角的大小；
（3）求二面角P﹣EC﹣D的大小．

Answer 1

解：（1）取PC的中点H，连接FH，EH，因为E、F分别是AB、PD的中点．
所以FH∥DC，FH=DC，
又AB∥DC，∴FH∥AE，并且FH=AE．
∴四边形AEHF是平行四边形，
∴AF∥EH，
∵EH平面PEC，
AF平面PEC，
所以AF∥平面PEC；
（2）连接AC，因为PA⊥平面ABCD，
所以PC与平面ABCD所成的角的大小，就是∠PCA；
因为底面ABCD是矩形，PA=AD=1，AB=2，所以AC==，
在Rt△PAC中
∴tan∠PCA==，∠PCA=arctan．
（3）延长CE至O，使得AO⊥CE于O，连接PO，
因为PA⊥平面ABCD，所以∠POA就是二面角P﹣EC﹣D的大小，
在Rt△AOE与Rt△EBC中，易得Rt△AOE∽Rt△EBC，
所以，EC=，
所以AO===，
在Rt△PAO中，tan∠POA===，
所以所求的二面角P﹣EC﹣D的大小为：arctan．