Question

2．已知函数$f（x）=4cos?x•sin（{?x+\frac{π}{4}}）（?＞0）$的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）讨论f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，进而利用三角函数周期公式即可计算得解．
（Ⅱ）由角的范围，利用正弦函数的单调性即可得解．

解答 解：（I）∵$f（x）=4cos?x•sin（{?x+\frac{π}{4}}）（?＞0）$
=$2\sqrt{2}cosωx（sinωx+cosωx）=\sqrt{2}（sin2ωx+cos2ωx+1）=2sin（2ωx+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}$，
∴$\frac{2π}{2ω}=π，可得：ω=1$．
∴$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{4}）+\sqrt{2}，ω=1$．
（Ⅱ）∵$当x∈[0，\frac{π}{2}]时，（2x+\frac{π}{4}）∈[\frac{π}{4}，π+\frac{π}{4}]，令2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}解得x=\frac{π}{8}$；
∴$y=f（x）在[0，\frac{π}{8}]上单调递增；在[\frac{π}{8}，\frac{π}{2}]上单调递减$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数周期公式，正弦函数的单调性的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．