Question

5．已知抛物线C：y²=2px过点N（1，2），过定点（2，0）的直线l与曲线C交于A，B两点，以AB为直径的圆M交x轴于P，Q两点，O为原点，证明：|OP|•|OQ|为定值．

Answer 1

分析 将N的坐标代入抛物线方程，可得p=2，设直线l：x=ty+2，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得圆M的直径式方程，再令y=0，由韦达定理，计算即可得到定值4．

解答 证明：抛物线C：y²=2px过点N（1，2），
即有4=2p，即为y²=4x，
设直线l：x=ty+2，代入抛物线方程，可得
y²-4ty-8=0，
设A（$\frac{{m}^{2}}{4}$，m），B（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），
即有m+n=4t，mn=-8，
AB为直径的圆M的方程为（x-$\frac{{m}^{2}}{4}$）（x-$\frac{{n}^{2}}{4}$）+（y-m）（y-n）=0，
令y=0，可得x²-$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{4}$x+$\frac{{m}^{2}{n}^{2}}{16}$+mn=0，
设P（x₁，0），Q（x₂，0），
则x₁x₂=$\frac{{m}^{2}{n}^{2}}{16}$+mn=$\frac{64}{16}$-8=-4，
即有|OP|•|OQ|为定值4．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．