Question

（2008•佛山一模）已知函数f（x）=ax+bsinx，当x=

π

3

时，f（x）取得极小值

π

3

-

3

．
（1）求a，b的值；
（2）设直线l：y=g（x），曲线S：y=f（x）．若直线l与曲线S同时满足下列两个条件：
①直线l与曲线S相切且至少有两个切点；
②对任意x∈R都有g（x）≥f（x）．则称直线l为曲线S的“上夹线”．试证明：直线l：y=x+2为曲线S：y=ax+bsinx“上夹线”．

Answer 1

分析：（1）由题意可得，f′（x）=a+bcosx，

a+ 1 2 b=0 π 3 •a+ 3 2 b= π 3 - 3

，从而可求得a，b的值；
（2）依题意，可证得（-

π

2

，-

π

2

+2）是直线l与曲线S的切点，（

3π

2

，

3π

2

+2）也是直线l与曲线S的切点；满足①；对任意x∈R，g（x）-f（x）═2+2sinx≥0，满足②，从而可证得结论．

解答：解：（1）∵f（x）=ax+bsinx，
∴f′（x）=a+bcosx，
而由已知得：

a+ 1 2 b=0 π 3 •a+ 3 2 b= π 3 - 3

，
∴a=1，b=-2，
此时f（x）=x-2sinx，
∴f′（x）=1-2cosx，
当x∈（0，

π

3

）时，f′（x）＜0，
当∈（

π

3

，

π

2

）时，f′（x）＞0，
∴当x=

π

3

时，f（x）取得极小值

π

3

-

3

，
即a=1，b=-2符合题意；
（2）证明：由f′（x）=1-2cosx=1，得cosx=0，
当x=-

π

2

时，cosx=0，此时y₁=x+2=-

π

2

+2，y₂=x-2sinx=-

π

2

+2，
∴y₁=y₂，
∴（-

π

2

，-

π

2

+2）是直线l与曲线S的切点；
当x=

3π

2

时，cosx=0，此时y₁=x+2=

3π

2

+2，y₂=x-2sinx=

3π

2

+2，
∴y₁=y₂，
∴（

3π

2

，

3π

2

+2）也是直线l与曲线S的切点；
∴直线l与曲线S相切且至少有两个切点，
对任意x∈R，g（x）-f（x）=（x+2）-（x-2sinx）=2+2sinx≥0
即g（x）≥f（x），因此直线l：y=x+2为曲线S：y=x-2sinx“上夹线”．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，（1）求得a=1，b=-2后，需分析验证“x=

π

3

时，f（x）取得极小值”，学生易忘记这一步；（2）中，分析（-

π

2

，-

π

2

+2）与（

3π

2

，

3π

2

+2）是直线l与曲线S的切点，即满足①是难点，考查综合分析与推理的能力，属于难题．