Question

如图2-4-19,已知C点在⊙O直径BE的延长线上,CA切⊙O于A点,∠BAC的平分线交AE于F点,∠BCA的平分线交AB于D点.

图2-4-19

(1)求∠ADF的度数.

(2)若∠ACB的度数为y度,∠B的度数为x度,那么y与x之间有怎样的关系？试写出你的猜测并给出证明.

(3)若AB =AC,求AC∶BC.

Answer 1

思路分析:（1）中由AC为⊙O切线可得∠B =∠EAC,由CD平分∠ACB可得∠ACD =∠DCB,根据三角形外角定理,得到∠ADF =∠AFD,建立等腰三角形,再由顶角求底角;（2）中则利用三角形内角和定理得到方程,获得关系;（3）中求线段的比值,利用△ACE∽△ABC可得.

解:（1）∵AC为⊙O的切线,?

∴∠B =∠EAC.?

∵CD平分∠ACB,?

∴∠ACD =∠DCB.?

∴∠B +∠DCB=∠EAC+∠ACD,即∠ADF =∠AFD.?

∵BE为⊙O的直径,?

∴∠DAE =90°.?

∴∠ADF = (180°-∠DAE )=45°.?

（2）∵∠B =∠EAC,∠B +∠BAC+∠ACB =180°,?

∴x+90+x+y =180.?

∴y =90-2x.?

∵0＜∠B＜∠ADC,?

∴0＜x ＜45.?

∴y与x的函数关系式是y =90-2x,其中x的取值范围是0＜x＜45.?

（3）∵∠B =∠EAC,∠ACB =∠ACB,?

∴△ACE∽△BCA.?

∴=.?

∵AB =AC,?

∴∠B =∠ACB,即x =y.?

又∵y =90-2x,∴x =90-2x,x =30.?

∴在Rt△ABE中, = =tan∠ABE =tan30°=.