Question

（2013•镇江二模）已知x，y均为正数，θ∈(

π

4

，

π

2

)，且满足

sinθ

x

=

cosθ

y

，

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

10

3(x2+y2)

，则

x

y

的值为

3

．

Answer 1

分析：由

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

10

3(x2+y2)

，两边同乘以x²+y²得到

y2cos2θ

x2

+

x2sin2θ

y2

=

7

3

；把

sinθ

x

=

cosθ

y

代入上式得

cos4θ

sin2θ

+

sin4θ

cos2θ

=

7

3

，可化为

cos6θ+sin6θ

sin2θcos2θ

=

7

3

，
利用立方和公式可以把cos⁶θ+sin⁶θ化为1-3sin²θcos²θ，可化为sin2θcos2θ=

3

16

，与sin²θ+cos²θ=1联立

sin2θcos2θ= 3 16 sin2θ+cos2θ=1

，即可解得sin²θ与cos²θ．再根据θ∈(

π

4

，

π

2

)得0＜cosθ＜

2

2

＜sinθ＜1，即可得出sinθ与cosθ，即可求出答案．

解答：解：∵

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

=

10

3(x2+y2)

，∴(x2+y2)(

cos2θ

x2

+

sin2θ

y2

)=

10

3

，化为

y2cos2θ

x2

+

x2sin2θ

y2

=

7

3

，（*）
∵

sinθ

x

=

cosθ

y

，
∴

x

y

=

sinθ

cosθ

，

y

x

=

cosθ

sinθ

，代人（*）得

cos4θ

sin2θ

+

sin4θ

cos2θ

=

7

3

，
化为

cos6θ+sin6θ

sin2θcos2θ

=

7

3

，
∵cos⁶θ+sin⁶θ=（cos²θ+sin²θ）（cos⁴θ+sin⁴θ-sin²θcos²θ）=1×[（cos²θ+sin²θ）²-3sin²θcos²θ]=1-3sin²θcos²θ，
∴

1-3sin2θcos2θ

sin2θcos2θ

=

7

3

，
化为sin2θcos2θ=

3

16

，与sin²θ+cos²θ=1联立

sin2θcos2θ= 3 16 sin2θ+cos2θ=1

，解得

sin2θ= 1 4 cos2θ= 3 4

或

sin2θ= 3 4 cos2θ= 1 4

．
由θ∈(

π

4

，

π

2

)得0＜cosθ＜

2

2

＜sinθ＜1．故取

sin2θ= 3 4 cos2θ= 1 4

．解得

sinθ= 3 2 cosθ= 1 2

，∴

x

y

=

sinθ

cosθ

=

3

．
故答案为

3

．

点评：本题综合考查了三角函数的恒等变形、单调性、平方关系、立方和公式、配方法、方程思想等基础知识与基本方法，需要较强的推理能力和变形能力、计算能力．