Question

一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数

m

n

，那么积m•n是

 

．

Answer 1

分析：画出正六面体、正八面体及内切球，设出半径r₁与r₂，
利用体积求出两个半径的比，然后得到m•n．

解答：解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r₁与r₂，
再设六面体中的正三棱锥A-BCD的高为h₁，
八面体中的正四棱锥M-NPQR的高为h₂，如图所示

则h₁=

6

3

a，h₂=

2

2

a．
∵V_正六面体=2•

1

3

h₁•S_△BCD=6•

1

3

r₁•S_△ABC，∴r₁=

1

3

h₁=

6

9

a．
又∵V_正八面体=2•

1

3

h₂•S_{正方形NPQR}=8•

1

3

r₂•S_△MNP，

3

a³=2

3

r₂a²，r₂=

6

6

a，于是

r1

r2

=

6 9 a

6 6 a

=

2

3

，  

2

3

是最简分数，
即m=2，n=3，∴m•n=6．
故选A．

点评：本题考查简单几何体的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是难题．