Question

已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，若，则的最小值为________．

Answer 1

4
分析：由已知各项均为正数的等比数列{a_n}满足：a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，可求出公比q的值，再由，及通项公式即可求出m+n=4，进而再由基本不等式即可求出的最小值．
解答：设等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₂₀₁₂=a₂₀₁₁+2a₂₀₁₀，∴a₂₀₁₁q=a₂₀₁₁，
∵a₂₀₁₁＞0，∴，∴q²-q-2=0，解得q=2，或q=-1，∵q＞0，∴q=-1应舍去．∴q=2．
∴，，∴==2a₁，解得m+n=4．
∴===4．
当且仅当，即n=3m及m+n=4，亦即时取得最小值4．
故答案为4．
点评：本题综合考查了等比数列的通项公式和基本不等式的性质，深刻理解以上知识和方法是解决问题的关键．