Question

设f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线x=1对称，对任意x₁、x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),且f(1)=a>0.

(1)求f()、f();

(2)证明f(x)是周期函数；

(3)记a_n=f(2n+),求 

Answer 1

(1) f()=a,　f()=a (2) 证明略(3)

解析:

(1)因为对x₁,x₂∈［0,］,都有f(x₁+x₂)=f(x₁)·f(x₂),所以f(x)=,　　x∈［0,1］

又因为f(1)=f(+)=f()·f()=［f()］²

f()=f(+)=f()·f()=［f（）］²

又f(1)=a>0

∴f()=a,　f()=a

(2)证明:依题意设y=f(x)关于直线x=1对称，故f(x)=f(1+1－x),

即　f(x)=f(2－x),x∈R.

又由f(x)是偶函数知　f(－x)=f(x),x∈R

∴f(－x)=f(2－x),x∈R.

将上式中－x以x代换得f(x)=f(x+2)，这表明f(x)是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

(3)由(1)知f(x)≥0,x∈［0,1］

∵f()=f(n·)=f(+(n－1) )=f()·f((n－1)·)=……

=f()·f()·……·f()

=［f()］ⁿ=a

∴f()=a.

又∵f(x)的一个周期是2

∴f(2n+)=f(),　

∴a_n=f(2n+)=f()=a.

因此a_n=a

∴