Question

定义在R上的函数f（x）满足，对任x、y∈R均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（2）=4，则f（x）在[-2012，-100]上的最大值为

-200

．

Answer 1

分析：通过赋值法，可证得y=f（x）为奇函数，且在R上单调递增，f（-2n）=nf（-2），从而可求得f（x）在[-2012，-100]上的最大值．

解答：解：令x=y=0得：f（0+0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0；
令y=-x得f（-x）+f（x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x），
∴y=f（x）为奇函数；
∵当x＞0时，f（x）＞0，
∴当x₁＜x₂时，x₂-x₁＞0，f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴y=f（x）在R上单调递增．
∴f（x）在[-2012，-100]上的最大值为f（-100）．
∵f（2）=4，
∴f（-2）=-4，
∴f（-2-2）=f（-2）+f（-2）=2f（-2）=-4，即f（-4）=-8，
同理可得f（-6）=3f（-2）=-12
…，
f（-2n）=nf（-2），
∴f（-100）=50f（-2）=-200．
∴f（x）在[-2012，-100]上的最大值为-200．
故答案为：-200．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用，考查函数奇偶性与单调性的判定，考查转化思想与推理运算能力，属于中档题．