Question

设{a_n}是由正数组成的等比数列,S_n是其前n项和,求证:.

Answer 1

解析:本题在证明前可先利用函数性质将所要求证的式子等价转化,即

要证＜lgS_n+1即证明S_nS_n+2＜S_n+1²,在利用定义证明时要注意公比q是否为1要分开讨论.

证明:设{a_n}的公比为q,由题意知a₁＞0,q＞0,?

(1)当q=1时,S_n=na₁.?

S_nS_n+2-S_n+1²=na₁(n+2)a₁-(n+1)a₁²=-a₁²＜0.?

(2)当q≠1时,

∴S_nS_n+2-S_n+1²==(1-qⁿ-qⁿ⁺²+q²ⁿ⁺²-1+2qⁿ⁺¹-q²ⁿ⁺²)?

=(-qⁿ-qⁿ⁺²+2qⁿ⁺¹).?

∵qⁿ+qⁿ⁺²≥2qⁿ⁺¹,?

∴-qⁿ-qⁿ⁺²+2qⁿ⁺¹＜0.?

∴S_nS_n+2-S_n+1²＜0.?

∴由(1)(2)知S_nS_n+2＜S_n+1².?

由对数函数的性质知lg(S_n·S_n+2)＜lgS_n+1²,?

即