Question

点A，B分别是以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆C长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆C上，且位于x轴上方，.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求点P的坐标；

（3）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.

Answer 1

解：（1）已知双曲线实半轴长a₁=4，虚半轴长b₁=，半焦距

∴椭圆长半轴，椭圆半焦距 椭圆短半轴

∴所求椭圆方程为   

（2）由已知A（－6，0），F（4，0），

设点P坐标为，

由已知得

则

由于y>0，只能取

∴P点坐标为（） 

（3）直线AP：，设点M是（m，0），则M到直线AP的距离是，于是，

由于点M在长轴上，所以，因此m=2。

∴椭圆上的点到M（2，0）的距离的平方

由于，

∴时，d取最小值