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解答题:解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

如图,在四棱锥中,侧棱PA⊥底面ABCDADBC,∠ABC

(1)

求点D到平面PBC的距离;

(2)

求二面角C-PD-A的大小.

答案:
解析:

(1)

  解:如图,在四棱锥中,

BCAD,从而点D到平面PBC间的距离等于点A

到平面PBC的距离.

∵∠ABC,∴ABBC

PA⊥底面ABCD,∴PABC

BC⊥平面PAB,………………2分

∴平面PAB⊥平面PBC,交线为PB

AAEPB,垂足为E,则AE⊥平面PBC

AE的长等于点D到平面PBC的距离.

,∴.………………5分

即点D到平面PBC的距离为.………………6分

  解法二:如图,以A为原点,分别以ADABAPx轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.

依题意

.则

设平面PBC的一个法向量为,则

,得

则点D到平面PBC的距离等于.……………6分

(2)

  方法一:∵PA⊥底面ABCD,∴平面PAD⊥底面ABCD

CMADMMNPDN,则CM⊥平面PAD

MNCN在平面PAD上的射影,

由三垂线定理可知CNPD

∴∠CNM是二面角的平面角.…………9分

依题意

,∴

可知,∴

∴二面角的大小为.………………12分

  方法二:∵ABPAABAD

AB⊥底面PDA,∴平面PDA的一个法向量为

设平面PDC的一个法向量为

,∴

,得,∴

∵二面角是锐二面角,

∴二面角的大小为.………………12分


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