Question

过圆x²+y²=1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则|

OA

+2

OB

|的最小值是

3

．

Answer 1

分析：设∠OBP=α，由O＜α＜

π

2

，∠OAP=

π

2

-α，知|

OA

+2

OB

|=|（

1

cosα

，

2

sinα

）|然后利用向量的模以及基本不等式求出表达式的最小值即可．

解答：解：设∠OAP=α，
∵O＜α＜

π

2

，∠OBP=

π

2

-α，

OA

=(

1

cosα

，0)，2

OB

=(0，

2

sinα

)，
∴|

OA

+2

OB

|=|（

1

cosα

，

2

sinα

）|=

( 1 cosα )2+( 2 sinα )2

=

sin2α+4cos2α sin2αcos2α

=

sin4α+4cos4α+5sin2αcos2α sin2αcos2α

=

tan2α+ 4 tan2α +5

≥

9

=3，当且仅当tan²α=

4

tan2α

时，表达式取得最小值．
故答案为：3．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用均值不等式进行解题．