Question

已知数列{x_n}和{y_n}的通项公式分别为xn=an和yn=(a+1)n+b，n∈N+．
（1）当a=3，b=5时，
①试问：x₂，x₄分别是数列{y_n}中的第几项？
②记cn=xn2，若c_k是{y_n}中的第m项（k，m∈N⁺），试问：c_k+1是数列{y_n}中的第几项？请说明理由；
（2）对给定自然数a≥2，试问是否存在b∈{1，2}，使得数列{x_n}和{y_n}有公共项？若存在，求出b的值及相应的公共项组成的数列{z_n}，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由条件可得xn=3n，y_n=4n+5．①令x₂=9=y_m=4m+5，得m=1，令x₄=81=y_k=4k+5，得k=19，由此能得到x₂，x₄分别是数列{y_n}中的第几项．②由题意知，cn=32n，由c_k为数列{y_n}中的第m项，则有3^2k=4m+5，由此得到c_k+1是数列{y_n}中的第9m+10项．
（2）设在{1，2}上存在实数b使得数列{x_n}和{y_n}有公共项，所以t=

as-b

a+1

，因自然数a≥2，s，t为正整数，故a^s-b能被a+1整除．由此入手能够推导出存在b∈{1，2}，使得数列{x_n}和{y_n}有公共项．

解答：解：（1）由条件可得xn=3n，y_n=4n+5．
①令x₂=9=y_m=4m+5，得m=1，故x₂是数列{y_n}中的第1项．
令x₄=81=y_k=4k+5，得k=19，故x₄是数列{y_n}中的第19项．  …（2分）
②由题意知，cn=32n，由c_k为数列{y_n}中的第m项，则有3^2k=4m+5，
那么ck+1=32(k+1)=9×32k=9×(4m+5)=36m+45=4(9m+10)+5，
因9m+10∈N^*，所以c_k+1是数列{y_n}中的第9m+10项．           …（8分）
（2）设在{1，2}上存在实数b使得数列{x_n}和{y_n}有公共项，
即存在正整数s，t使a^s=（a+1）t+b，∴t=

as-b

a+1

，
因自然数a≥2，s，t为正整数，∴a^s-b能被a+1整除．
①当s=1时，t=

as-b

a+1

＜

a

a+1

∉N*．   ②当s=2n（n∈N^*）时，
当b=1时，

as-b

a+1

=

a2n-1

a+1

=-

1-a2n

1-(-a)

=-[1+(-a)+(-a)2+…+(-a)2n-1]=（a-1）[1+a²+a⁴…+a^2n-2]∈N^*，即a^s-b能被a+1整除．
此时数列{x_n}和{y_n}有公共项组成的数列{z_n}，通项公式为zn=22n（n∈N^*）．
显然，当b=2时，

as-b

a+1

=

a2n-2

a+1

=

a2n-1

a+1

-

1

a+1

∉N*，即a^s-b不能被a+1整除．
③当s=2n+1（n∈N^*）时，t=

as-b

a+1

=

a(a2n- b a )

a+1

，
若a＞2，则a2n-

b

a

∉N*，又a与a+1互质，故此时t=

a(a2n- b a )

a+1

∉N*．
若a=2，要a2n-

b

a

∈N*，则要b=2，此时a2n-

b

a

=a2n-1，
由②知，a²ⁿ-1能被a+1整除，故t=

a(a2n- b a )

a+1

∈N*，即a^s-b能被a+1整除．
当且仅当b=a=2时，a^S-b能被a+1整除．
此时数列{x_n}和{y_n}有公共项组成的数列{z_n}，通项公式为zn=22n+1（n∈N^*）．
综上所述，存在b∈{1，2}，使得数列{x_n}和{y_n}有公共项组成的数列{z_n}，
且当b=1时，数列zn=a2n（n∈N^*）；当b=a=2时，数列zn=22n+1（n∈N^*）．…（16分）

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合应用，综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．