Question

在数列{a_n}中，a₁=，并且对于任意n∈N^*，且n＞1时，都有a_n•a_n-1=a_n-1-a_n成立，令b_n=（n∈N^*）．
（I）求数列{b_n}的通项公式；
（II）求数列{}的前n项和T_n，并证明T_n＜-．

Answer 1

解：（I）当n=1时，b₁==3，
当n≥2时，b_n-b_n-1=-==1，
∴数列{b_n}是首项为3，公差为1的等差数列，
∴数列{b_n}的通项公式为b_n=n+2．

（II）∵===（-），
∴T_n=+++…++
=[（1-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）]=[-（+）]
=[-]，
∵＞=，
∴-＜-，
∴T_n＜-．
分析：（I）、当n=1时，先求出b₁=3，当n≥2时，求得b _n+1与b_n的关系即可知道b_n为等差数列，然后便可求出数列{b_n}的通项公式；
（II）根据（I）中求得的b_n的通项公式先求出数列{}的表达式，然后求出T_n的表达式，根据不等式的性质即可证明T_n＜-．
点评：本题主要考查了数列的递推公式以及等差数列与不等式的结合，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．