Question

若数列{a_n}满足

1

an+1

-

1

an

=d，（n∈N^*，d为常数），则称数列{a_n}为调和数列．已知数列{

1

xn

}为调和数列，且x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=200，则x₁+x₂₀=

 

；x₃x₁₈的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：根据题意可得x_n+1-x_n=d=常数，所以数列{x_n}是等差数列．利用等差数列的性质可得：x₁+x₂₀=20，所以20=x₃+x₁₈再利用基本不等式可得x₃x₁₈≤100．

解答：解：因为数列{

1

xn

}为调和数列，
所以结合调和数列的定义可得：x_n+1-x_n=d=常数，
所以数列{x_n}是等差数列．
因为x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=200，
所以结合等差数列的性质可得：x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=10（x₁+x₂₀）=200，
所以x₁+x₂₀=20，
所以20=x₃+x₁₈≥2

x3x18

，即x₃x₁₈≤100．
故答案为20，100．

点评：本题主要考查等差数列的定义与性质，以及利用基本不等式求最值．