Question

18．已知四棱锥A-BCDE，其中AB=BC=AC=BE=1，CD=2，CD⊥面ABC，BE∥CD，F为AD的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；
（Ⅱ）求四棱锥A-BCDE的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，推导出EF∥BG，由此能证明EF∥面ABC．
（Ⅱ）连结EC，V_A-BCDE=V_E-ABC+V_E-ADC，由此能求出四棱锥A-BCDE的体积．

解答 证明：（Ⅰ）取AC中点G，连结FG、BG，
∵F，G分别是AD，AC的中点
∴FG∥CD，且FG=$\frac{1}{2}$DC=1．
∵BE∥CD∴FG与BE平行且相等
∴EF∥BG．
∵EF?面ABC，BG?面ABC，
∴EF∥面ABC．
解：（Ⅱ）连结EC，该四棱锥分为两个三棱锥E-ABC和E-ADC．
∴四棱锥A-BCDE的体积V_A-BCDE=V_E-ABC+V_E-ADC=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×1+\frac{1}{3}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真这题，注意空间思维能力的培养．