Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1（n∈N^*）．则a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，S₁=a₁=-1，从而得到{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为-1，公差为-1的等差数列，进而求出S_n=-$\frac{1}{n}$，由此能求出a_n．

解答 解：∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1（n∈N^*），
∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，S₁=a₁=-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}-\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，$\frac{1}{{S}_{1}}$=-1，
∴{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首项为-1，公差为-1的等差数列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1+（n-1）×（-1）=-n．
∴S_n=-$\frac{1}{n}$，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=-$\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}$=$\frac{1}{n（n-1）}$，
n=1时，不成立，∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．