Question

已知：动点P（x，y）到点F（0，1）的距离比它到直线y+2=0的距离小1，
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在直线y=-1上任取一点M作曲线C的两条切线l₁，l₂，切点分别为A，B，在y轴上是否存在定点Q，使△ABQ的内切圆圆心在定直线n上？若存在，求出点Q的坐标及定直线n的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解法（一）：设P（x，y），由条件得：

x2+(y-1)2

=|y+2|-1，化简可得结论；
解法（二）：由题设发现：点P（x，y）在y=-2的上方．根据点P（x，y）到y=-2的距离比它到直线y=-1的距离多1，可得点P（x，y）到点F（0，1）的距离等于它到直线y=-1的距离，利用抛物线的定义，即可得到结论；
（Ⅱ）设出A，B的坐标，分别求出M的坐标，可得x₁x₂=-4．存在定点Q，使△ABQ的内切圆圆心在定直线n上，证明OQ平分∠AQB即可．

解答：解：（Ⅰ）解法（一）：设P（x，y），由条件得：

x2+(y-1)2

=|y+2|-1 …（2分）
∴x²+（y-1）²=（y+2）²-2|y+2|+1  …（3分）
 由条件知：y＞-2，∴x²-2y=4y+4-2y-4，即x²=4y，
∴点P的轨迹C的方程为x²=4y；…（6分）
解法（二）：由题设发现：点P（x，y）在y=-2的上方．
∵点P（x，y）到y=-2的距离比它到直线y=-1的距离多1…（2分）
∴点P（x，y）到点F（0，1）的距离等于它到直线y=-1的距离
∴曲线C是以F（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线…（4分）
∴点P的轨迹C的方程为x²=4y…（6分）
（Ⅱ）设A(x1，

x12

4

)，x1≠0，y′=

x

2

，∴kMA=

x1

2

，直线MA：y-

x12

4

=

x1

2

(x-x1)…（7分）
令y=-1得：-1-

x12

4

=

x1x

2

-

x12

2

，∴

x1x

2

=

x12

4

-1∴x=

x1

2

-

2

x1

，∴M(

x1

2

-

2

x1

，-1)…（8分）
设B(x2，

x22

4

)，x2≠0，同理得：M(

x2

2

-

2

x2

，-1)…（9分）
∴

x1

2

-

2

x1

=

x2

2

-

2

x2

，(x1≠x2)，∴

x1

2

-

x2

2

+

2

x2

-

2

x1

=0，
∴

1

2

(x1-x2)+

2(x1-x2)

x1x2

=0
∴x₁x₂=-4…（10分）
设直线AB：y=kx+b代入y=

x2

4

得：

x2

4

=kx+b∴x2-4kx-4b=0，
∴x₁x₂=-4b=-4，x₁+x₂=4k，∴b=1…（11分）
存在点Q（0，-1），kAQ+kBQ=

x12 4 +1

x1

+

x22 4 +1

x2

=

x1

4

+

x2

4

+

x1+x2

x1x2

=k-

4k

4

=0…（14分）
∴OQ平分∠AQB，∴存在点Q（0，-1），△ABQ的内心在定直线n：x=0上．…（15分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查抛物线的定义，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，有难度．