Question

在△ABC中，

AC

AB

=

cosB

cosC

．
（Ⅰ）证明B=C：
（Ⅱ）若cosA=-

1

3

，求sin(4B+

π

3

)的值．

Answer 1

分析：（1）先根据正弦定理将边的比值转化为正弦值的比，交叉相乘后根据两角和与差的正弦公式可求出sin（B-C）=0．再由B，C的范围可判断B=C得证．
（2）先根据（1）确定A，与B的关系，再由诱导公式可求出cos2B的值，然后由基本关系式可求sin2B的值最后由二倍角公式和两角和与差的正弦公式可求最后答案．

解答：（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得

sinB

sinC

=

cosB

cosC

．
于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0．
因为-π＜B-C＜π，从而B-C=0．所以B=C；
（Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B，
故cos2B=-cos（π-2B）=-cosA=

1

3

．
又0＜2B＜π，于是sin2B=

1-cos22B

=

2 2

3

．
从而sin4B=2sin2Bcos2B=

4 2

9

，
cos4B=cos22B-sin22B=-

7

9

．
所以sin(4B+

π

3

)=sin4Bcos

π

3

+cos4Bsin

π

3

=

4 2 -7 3

18

．

点评：本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力．