Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线分别为l₁，l₂，右焦点为F，若在右支上存在一点P，使得P到l₁的距离d₁、

3

2

|PF|、P到l₂的距离d₂依次成等比数列，则该双曲线的离心率e的取值范围是（　　）

• A、[

  2

  ，2]
• B、(1，

  2

  ]
• C、(1，

  2

  )
• D、（1，2]

Answer 1

分析：求出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线方程，可求d₁=

|bx+ay|

b2+a2

，d₂=

|bx-ay|

b2+a2

，利用P到l₁的距离d₁、

3

2

|PF|、P到l₂的距离d₂依次成等比数列，可得

3

4

|PF|2=

a2b2

c2

，结合|PF|≥c-a，即可得出结论．

解答：解：设P（x，y）（x≥a），则
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线分别为bx+ay=0，bx-ay=0，
∴d₁=

|bx+ay|

b2+a2

，d₂=

|bx-ay|

b2+a2

，
∴d₁d₂=

|bx+ay|

b2+a2

•

|bx-ay|

b2+a2

=

b2x2-a2y2

c2

=

a2b2

c2

，
∵P到l₁的距离d₁、

3

2

|PF|、P到l₂的距离d₂依次成等比数列，
∴

3

4

|PF|2=

a2b2

c2

，
∴|PF|2=

4a2b2

3c2

∵|PF|≥c-a，
∴

4a2b2

3c2

≥(c-a)2，
∴4a²（c²-a²）≥3c²（c-a）²，
∴3e³-e-2≤0，
∵e＞1，
∴1＜e≤2．
故选D．

点评：本题考查双曲线的离心率，考查等比数列的性质，考查学生的计算能力，难度大．