Question

（2009•温州二模）在等差数列{a_n}中，设S_n为它的前n项和，若S₅=35，且点A（3，a₃）与B（5，a₅）都在斜率为-2的直线l上，
（Ⅰ）求a₁的值；
（Ⅱ）求S_n的最大值．

Answer 1

分析：（I）由题意，点点A（3，a₃）与B（5，a₅）都在斜率为-2的直线l上，由斜率的两点式得到

a5-a3

5-3

=-2，即可解出公差d，再由S₅=35即可求出首项；
另解：可由等差数列的性质解出a₃=7，再解出首项；
（II）由等差数列的求和公式得到关于n的二次式，再利用二次函数的性质求出其最大值即可
另解：由于数列是一个递减的数列，故可研究出正项的个数，从而求出S_n的最大值

解答：（本小题满分14分）
（Ⅰ）由已知可得

a5-a3

5-3

=-2，则公差d=-2，…（4分）
又由S₅=35得5a₁+10d=35，则a₁=11．…（7分）
另解：由S₅=35得a₃=7再解a₁=11．
（Ⅱ）Sn=na1+

n(n-1)d

2

=-n2+12n=-(n-6)2+36，…（12分）
则当n=6时S_n的最大值为36．…（14分）
另解：由a_n=11-2（n-1）=-2n+13，令a_n≥0，a_n≤0得n=6，
故当n=6时S_n的最大值为36．…（14分）

点评：本题考查等差数列的前n项及其通项公式的求法，等差数列前必项和的求解常借助二次函数的性质求解，解答本题后注意总结两种求最值的方法