Question

设数列{}的首项，前项和S满足关系式(其中=1，2，3，4，…)．

    (Ⅰ)求证：数列{}是等比数列；

    (Ⅱ)设数列{}的公比为，作数列｛｝，使，(=2，3，4，…)，求数列{}的通项公式；

    (Ⅲ)求和：．

Answer 1

解：(Ⅰ)，当时，由

    得． 

    ∴，

    ∴

    故{}为等比数列，首项为1，公比为．

(Ⅲ)∵，

    ，

    ∴是以1为首项，为公差的等差数列，故其通项公式为

    ．

(Ⅲ)(解法一)∵，，

    ∴{}，{}是首项分别为和1，公差均为的等差数列．

①当…)时，

，

=

=   (*)

    =

=．

②当…)时，

    =

    =

    =   (由(*))

    =．

    综上，   

(解法二)∵

=．

∴当为偶数时

=

=；

当为奇数时

    =

    =

=

综上，